3. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса AK, которая делит сторону BC на отрезки равные 6 см и 5 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

Пусть точка K лежит на стороне BC. Так как AK — биссектриса, то \( \angle BAK = \angle KAD \).

В параллелограмме ABCD стороны AB || DC и AD || BC. Так как AD || BC, то \( \angle DAK = \angle AKB \) как накрест лежащие углы.

Следовательно, \( \angle BAK = \angle AKB \). Это означает, что треугольник ABK равнобедренный, и \( AB = BK \).

По условию, сторона BC делится биссектрисой AK на отрезки 6 см и 5 см. Возможны два случая:

1. BK = 6 см, KC = 5 см. Тогда \( AB = BK = 6 \) см. Сторона \( BC = BK + KC = 6 + 5 = 11 \) см.
2. KC = 6 см, BK = 5 см. Тогда \( AB = BK = 5 \) см. Сторона \( BC = BK + KC = 5 + 6 = 11 \) см.

В обоих случаях сторона BC равна 11 см, а сторона AB равна либо 6 см, либо 5 см.

Периметр параллелограмма равен \( P = 2(AB + BC) \).

Если AB = 6 см: \( P = 2(6 + 11) = 2(17) = 34 \) см.

Если AB = 5 см: \( P = 2(5 + 11) = 2(16) = 32 \) см.

Поскольку на рисунке точка K расположена ближе к B, предполагаем, что BK < KC, значит AB < BC.

Ответ: 32 см.