3. В параллелограмме ABCD точка O лежит на диагонали BD. Луч AO делит угол DAB пополам. Доказать: ∠AOB = 90°.

Пусть ∠DAB = 2α. Так как AO — биссектриса, ∠BAO = α.

Поскольку AD ∥ BC, а OB лежит на BD, ∠ABO = ∠CBD. Однако удобнее использовать параллелограмм и положение O на диагонали BD: из условия биссектрисы AO следует равенство углов ∠BAO = ∠OAD. Из параллельности AD ∥ BC это даёт ∠BAO = ∠AOB? Это не следует без дополнительного отношения сторон.

Утверждение в общем случае неверно: биссектриса угла параллелограмма не обязана пересекать диагональ BD под прямым углом. Например, возьмём параллелограмм с A=(0,0), B=(4,0), D=(1,3). Биссектриса угла DAB направлена вдоль единичных векторов AB и AD, то есть имеет направление (1,0)+(1/√10,3/√10). Её пересечение с BD в общем случае не образует прямого угла с AO.

Чтобы доказательство было возможно, нужны дополнительные условия — например, что параллелограмм является ромбом. В таком случае диагонали взаимно перпендикулярны, и при O на BD получаем ∠AOB = 90°.

Ответ: по указанным данным утверждение доказать нельзя; оно неверно для произвольного параллелограмма.