3) В параллелограмме \(ABCD\) точки \(E\) и \(K\) лежат соответственно на сторонах \(BC\) и \(CD\). \(BE:EC=3:2\), \(DK:KC=1:4\). Даны \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), \(\vec b=\overrightarrow{AD}\). Выразите векторы \(\overrightarrow{BE}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{DE}\), \(\overrightarrow{BK}\), \(\overrightarrow{EK}\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a\). Из отношений сторон получаем \(\overrightarrow{BE}=\frac{3}{5}\vec b\) и \(\overrightarrow{DK}=\frac{1}{5}\vec a\).

1. \(\overrightarrow{BE}=\frac{3}{5}\vec b\).

2. \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}=\vec b+\frac{1}{5}\vec a\).

3. \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\vec a+\frac{2}{5}\overrightarrow{CB}=\vec a-\frac{2}{5}\vec b\). Исправление: поскольку \(\overrightarrow{CE}=-\frac{2}{5}\vec b\), это выражение соответствует точке E на BC. Следовательно, \(\overrightarrow{DE}=\vec a-\frac{2}{5}\vec b\).

4. \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\vec a+\frac{1}{5}\vec a+\vec b=\vec b-\frac{4}{5}\vec a\).

5. \(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DK}=\left(-\vec a+\frac{2}{5}\vec b\right)+\frac{1}{5}\vec a=-\frac{4}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{BE}=\frac{3}{5}\vec b\); \(\overrightarrow{AK}=\frac{1}{5}\vec a+\vec b\); \(\overrightarrow{DE}=\vec a-\frac{2}{5}\vec b\); \(\overrightarrow{BK}=\vec b-\frac{4}{5}\vec a\); \(\overrightarrow{EK}=-\frac{4}{5}\vec a+\frac{2}{5}\vec b\).