5) а) $ABCD$ — квадрат, $AB=5$. Найдите длину суммы векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$. б) $MNEF$ — прямоугольник, $MN=5$, $NE=12$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $|\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NO}|$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) а) $ABCD$ — квадрат, $AB=5$. Найдите длину суммы векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$. б)…$ Фото задания

Accepted Answer

В квадрате $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, диагональ квадрата со стороной 5 равна $\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2$.
В прямоугольнике $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{FE}$, поэтому эти слагаемые сокращаются. Диагонали прямоугольника делятся пополам, значит $\overrightarrow{NO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NM}$. Тогда $\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{NE}+\overrightarrow{MN})$. Векторы $\overrightarrow{NE}$ и $\overrightarrow{MN}$ перпендикулярны и имеют длины 12 и 5, поэтому искомая длина равна $\frac{1}{2}\sqrt{12^2+5^2}=\frac{13}{2}$.

Ответ: а) $5\sqrt2$; б) $\frac{13}{2}$.