4) В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\) и \(BC\) параллельны, \(BC=4\), \(CD=12\), \(\angle A=45^\circ\), \(\angle D=30^\circ\). Найдите среднюю линию.

Опустим перпендикуляры из B и C на основание AD и обозначим высоту трапеции через \(h\).

1. В прямоугольном треугольнике у стороны CD: \(h=CD\sin30^\circ=12\cdot\frac{1}{2}=6\).

2. Горизонтальная проекция CD на основание равна \(12\cos30^\circ=6\sqrt3\). Из угла A, равного \(45^\circ\), горизонтальная проекция AB равна \(h\cot45^\circ=6\).

3. Поэтому \(AD=6+BC+6\sqrt3=10+6\sqrt3\). Средняя линия равна полусумме оснований: \(m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+6\sqrt3+4}{2}=7+3\sqrt3\).

Ответ: \(7+3\sqrt3\).