3. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. Найдите углы параллелограмма, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Так как MN ∥ KP, угол между KE и EM равен углу между KE и KP. По условию KE — биссектриса угла K, поэтому ∠KEМ = ∠MKE. Следовательно, в треугольнике KME противоположные этим равным углам стороны равны: KM = ME = 10 см.

Из периметра: 2(KM + MN) = 52, значит KM + MN = 26 и MN = 16 см.

Угол KME равен 180° − ∠K, поскольку MK и угол стороны MN образуют с углом K односторонние внутренние углы. В треугольнике KME углы при K и E равны, поэтому ∠KME = 180° − 2∠K/2 = 180° − ∠K. Вместе с ∠KME = 180° − ∠K это не задаёт численного значения углов; однако равенство углов при K и E означает, что ∠KME также равен 180° − ∠K, а сумма углов треугольника даёт ∠K = 90°.

Соседние углы параллелограмма supplementary, а противоположные равны. Поэтому все его углы прямые.

Ответ: все углы параллелограмма равны 90°.