3. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ равно 15, а диагональ BD₁ равна 25. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A₁ и C.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть сторона квадратного основания равна \(a\). По теореме Пифагора для диагонали \(BD_1\):

\(BD_1^2=2a^2+AA_1^2\), поэтому \(25^2=2a^2+15^2\).

\(2a^2=400\), откуда \(a^2=200\). Диагональ основания \(AC=a\sqrt2=20\).

Сечение — прямоугольник \(AA_1C_1C\) со сторонами \(AA_1=15\) и \(AC=20\). Его площадь равна \(15\cdot20=300\).

Ответ: 300.