3. В прямоугольнике ABCD O — точка пересечения диагоналей, BH и DE — высоты треугольников ABO и COD соответственно, ∠BOH = 60°, AH = 5 см. Найдите OE.

Точки A, O и H лежат на одной прямой. Поэтому ∠BOH = ∠BOA = 60°. В прямоугольном треугольнике ABO диагонали прямоугольника равны, значит AO = BO. Следовательно, треугольник ABO равносторонний.

Высота BH равностороннего треугольника является медианой, поэтому H — середина AO и AH = HO. Значит, HO = 5 см.

Поворот на 180° вокруг O переводит A в C, B в D, а высоту BH — в DE; соответственно, H переходит в E. Поэтому OH = OE.

Ответ: OE = 5 см.