4. В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O; AO = OD, BO = OC, ∠BAC = ∠DCA. Найдите ∠ABC.

Из равенств AO = OD и BO = OC и вертикальности углов AOB и DOC следует равенство треугольников AOB и DOC по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AB = DC.

В треугольниках BAC и DCA равны AB и DC, сторона AC общая, а углы BAC и DCA равны. Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Однако из этого следует лишь равенство соответствующих углов, а числовая величина ∠ABC не определяется: условия допускают разные размеры и формы фигуры.

Ответ: определить ∠ABC по данным условиям нельзя.