5. В прямоугольнике ABCD точки M и K — середины сторон AB и AD соответственно. На прямой AC взята точка P, на прямой BD — точка E, MP ⟂ AC, KE ⟂ BD. Известно, что 4KE = AD. Найдите отношение AP : PC.

Обозначим AB = w, AD = h. Введём координаты: A(0, 0), B(w, 0), D(0, h), C(w, h). Тогда M(w/2, 0), K(0, h/2).

Пусть P = (tw, th), поскольку P лежит на AC. Условие MP ⟂ AC означает, что векторы MP и AC перпендикулярны:

\( (w/2-tw, -th)\cdot(w,h)=0 \), откуда \(t=\dfrac{w^2}{2(w^2+h^2)}\).

Расстояние от K до прямой BD равно \(KE=\dfrac{wh}{2\sqrt{w^2+h^2}}\). По условию 4KE = h, следовательно, \(\sqrt{w^2+h^2}=2w\), а значит, \(h^2=3w^2\).

Подставляя это в выражение для t, получаем \(t=\dfrac18\). Поэтому \(AP:PC=t:(1-t)=1:7\).

Ответ: AP : PC = 1 : 7.