3. В равнобедренной трапеции большее основание в два раза превосходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.

Обозначим меньшее основание через b. Тогда большее основание равно 2b. В равнобедренной трапеции меньшее основание расположено симметрично относительно середины большего, поэтому горизонтальное расстояние от этой середины до вершины тупого угла равно b/2.

Расстояние от середины большего основания до вершины тупого угла равно b. Вместе с высотой трапеции h и отрезком b/2 оно образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

h² + (b/2)² = b², откуда h = √3b/2.

Острый угол при большем основании удовлетворяет равенству tan α = h/(b/2) = √3, значит, α = 60°. Соседний с ним угол равен 180° − 60° = 120°. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Ответ: два угла по 60° и два угла по 120°.