5. Диагонали равнобедренной трапеции ABCP взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние между прямыми AP и BC, содержащими основания, равно (AP + BC)/2.

Пусть основания AP и BC имеют длины a и b, а расстояние между содержащими их прямыми равно h. Разместим равнобедренную трапецию симметрично относительно вертикальной оси. Тогда горизонтальная проекция каждой диагонали равна (a + b)/2, а вертикальная — h.

Направляющие векторы диагоналей можно представить как ((a+b)/2, h) и (−(a+b)/2, h). Их перпендикулярность означает, что скалярное произведение равно нулю:

h² − ((a+b)/2)² = 0.

Так как h — положительное расстояние, получаем h = (a+b)/2.

Следовательно, расстояние между прямыми, содержащими основания, равно (AP + BC)/2. Что и требовалось доказать.