3. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите площадь трапеции.

1. Для нахождения площади трапеции ($$S = \frac{a+b}{2}h$$) необходимо знать оба основания. Из рисунка видно, что высота $$h=5$$, меньшее основание $$b=6$$, и угол при основании $$45^\circ$$.
2. Проведем высоту из концов меньшего основания к большему. Образуются два прямоугольных треугольника. В каждом из них один катет равен высоте (5), а прилежащий к углу $$45^\circ$$ катет равен $$\frac{a-b}{2}$$.
3. Так как угол равен $$45^\circ$$, то второй катет также равен 5. Следовательно, $$\frac{a-b}{2} = 5$$, откуда $$a-b = 10$$. Так как $$b=6$$, то $$a = 16$$.
4. Площадь трапеции: $$S = \frac{16+6}{2} \times 5 = \frac{22}{2} \times 5 = 11 \times 5 = 55$$.