3. В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность, касающаяся сторон в точках E, M, K. Известно, что AM = 4, BE = 9. Найти периметр треугольника ABC.

Задание 3

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, вписанная окружность касается сторон AB, BC и AC в точках M, E и K соответственно.

Известно, что AM = 4 и BE = 9.

Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности:

• AM = AK = 4 (касательные из точки A).
• CM = CK (ошибочно, правильная точка касания на AC - K).
• ME = MK (ошибочно, касательные из точки B - E, из точки C - K, из точки A - M).
• BE = CE = 9 (касательные из точки B).
• MK = CK (ошибочно, касательные из точки C).

По условию, точка касания на стороне AB — M, на стороне BC — E, на стороне AC — K.

Следовательно:

• AM = AK = 4 (касательные из точки A).
• BM = BE = 9 (касательные из точки B).
• CE = CK (касательные из точки C).

Теперь найдем длины сторон треугольника:

• AB = AM + MB = 4 + 9 = 13.
• BC = BE + EC = 9 + EC.
• AC = AK + KC = 4 + KC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC.

Следовательно, AB = 13, и BC = 13.

Так как BC = 13, и BE = 9, то EC = BC - BE = 13 - 9 = 4.

Значит, CK = EC = 4.

Теперь найдем длину основания AC:

AC = AK + KC = 4 + 4 = 8.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон:

P = AB + BC + AC = 13 + 13 + 8 = 34.

Ответ: 34.