4. В треугольнике ABC ∠A = 50°, а ∠B = 60°. Под какими углами видны стороны AB, BC и CA из центра вписанной окружности?

Задание 4

В треугольнике ABC:

• \[ \angle A = 50° \]
• \[ \angle B = 60° \]
• \[ \angle C = 180° - 50° - 60° = 70° \]

Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Найдем углы, под которыми видны стороны из центра вписанной окружности. Эти углы являются центральными углами, опирающимися на дуги, которые отсекают стороны треугольника от окружности.

Пусть O — центр вписанной окружности.

Углы, под которыми видны стороны:

• Сторона BC видна из центра O под углом \[ \angle BOC \].
• Сторона AC видна из центра O под углом \[ \angle AOC \].
• Сторона AB видна из центра O под углом \[ \angle AOB \].

Формула для расчета углов, под которыми стороны видны из центра вписанной окружности:

• \[ \angle BOC = 90° + \frac{\angle A}{2} \]
• \[ \angle AOC = 90° + \frac{\angle B}{2} \]
• \[ \angle AOB = 90° + \frac{\angle C}{2} \]

Подставим значения углов треугольника:

• \[ \angle BOC = 90° + \frac{50°}{2} = 90° + 25° = 115° \]
• \[ \angle AOC = 90° + \frac{60°}{2} = 90° + 30° = 120° \]
• \[ \angle AOB = 90° + \frac{70°}{2} = 90° + 35° = 125° \]

Проверка: сумма углов должна быть 360°.

\[ 115° + 120° + 125° = 360° \]

Ответ: стороны BC, AC и AB видны из центра вписанной окружности под углами 115°, 120° и 125° соответственно.