3. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите ∠AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как \(BM\) — медиана, точка M — середина AC:

\(AM=MC=\frac{216}{2}=108\).

Тогда

\(MH=HC-MC=108-54=54\).

В прямоугольном треугольнике BHC:

\(\angle BCH=\angle ACB=40°\).

Следовательно,

\(\tan 40°=\frac{BH}{HC}=\frac{BH}{54}\),

откуда \(BH=54\tan 40°\).

В прямоугольном треугольнике BMH:

\(\tan\angle BMH=\frac{BH}{MH}=\frac{54\tan40°}{54}=\tan40°\).

Значит, \(\angle BMH=40°\). Поскольку лучи MA и MH совпадают, \(\angle AMB=\angle BMH\).

Ответ: \(40°\).