3. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC, а точка F — на стороне BC. AD = 18 см, DC = 6 см, BF = 10 см, FC = 8 см и DF = 9 см. Найдите периметр треугольника ABC.

Сначала найдём известные стороны: \(AC=AD+DC=24\) см, \(BC=BF+FC=18\) см.

Расположим \(C\) в начале координат, а \(A\) на положительной полуоси: тогда \(A=(24,0)\), \(D=(6,0)\). Точка F делит CB в отношении \(CF:CB=8:18=4:9\), поэтому \(F=\frac{4}{9}B\).

Обозначим координаты B через \((u,v)\). Из \(DF=9\) получаем \((6-\frac{4u}{9})^2+(\frac{4v}{9})^2=81\). С учётом \(u^2+v^2=BC^2=324\) это даёт \(u=\frac{249}{16}\).

Тогда \(AB^2=(u-24)^2+v^2=AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot u=24^2+18^2-48\cdot\frac{249}{16}=153\), откуда \(AB=3\sqrt{17}\) см.

Периметр: \(24+18+3\sqrt{17}=42+3\sqrt{17}\) см.

Ответ: \(42+3\sqrt{17}\) см.