4. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 35 см вписан квадрат, имеющий с треугольником общий угол. Вершины квадрата лежат на сторонах треугольника. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если сторона квадрата равна 12 см.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\). Квадрат со стороной 12 см расположен у прямого угла; его противоположная вершина лежит на гипотенузе. По подобию треугольников высота квадрата удовлетворяет равенству \(\frac{1}{12}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\), то есть \(ab=12(a+b)\).

По теореме Пифагора \(a^2+b^2=35^2=1225\). Обозначим \(s=a+b\). Тогда \(a^2+b^2=s^2-2ab=s^2-24s=1225\), откуда \(s^2-24s-1225=0\). Положительный корень: \(s=49\). Следовательно, \(ab=12\cdot49=588\).

Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(t^2-49t+588=0\): \(t=21\) или \(t=28\).

Ответ: 21 см и 28 см.