3. В треугольнике MNK известно, что ∠N = 50°. Биссектриса угла N пересекает сторону MK в точке F, ∠MFN = 74°. Найдите угол MKN.

Решение:

В треугольнике \( \triangle MFN \):

\( \angle NMF + \angle MFN + \angle FNМ = 180° \)

\( \angle NMF + 74° + \angle FNМ = 180° \)

\( \angle NMF + \angle FNМ = 180° - 74° = 106° \)

Поскольку \( NF \) — биссектриса угла \( N \), то \( \angle MNF = \angle FNK = \frac{\angle N}{2} = \frac{50°}{2} = 25° \).

В треугольнике \( \triangle MNK \):

\( \angle MKN + \angle KNM + \angle NMK = 180° \)

\( \angle MKN + 50° + \angle NMK = 180° \)

\( \angle MKN + \angle NMK = 130° \)

В треугольнике \( \triangle NFK \):

\( \angle NKF + \angle KFN + \angle FNK = 180° \)

\( \angle NKF + \angle KFN + 25° = 180° \)

\( \angle NKF + \angle KFN = 155° \)

Угол \( \angle KFN \) является смежным к \( \angle MFN \), поэтому \( \angle KFN = 180° - \angle MFN = 180° - 74° = 106° \).

Тогда в \( \triangle NFK \):

\( \angle NKF + 106° + 25° = 180° \)

\( \angle NKF + 131° = 180° \)

\( \angle NKF = 180° - 131° = 49° \)

\( \angle MKN = \angle NKF = 49° \).

Ответ: 49°.