5. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точку М, а на стороне АВ — точку К такие, что ВК = КМ и КМ || ВС. Докажите, что АМ = МС.

Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AC \). Это означает, что \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

Дано, что \( K \) — точка на \( AB \) и \( M \) — точка на \( AC \) такие, что \( BK = KM \) и \( KM \parallel BC \).

1. Рассмотрим \( \triangle BKM \). Так как \( BK = KM \), то \( \triangle BKM \) — равнобедренный.

Следовательно, \( \angle KBM = \angle KMB \).

2. Так как \( KM \parallel BC \), то \( \angle AKM = \angle ABC \) (как соответственные углы при параллельных прямых \( KM \) и \( BC \) и секущей \( AB \)).

3. Также, так как \( KM \parallel BC \), то \( \angle KMC = \angle BCM \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( KM \) и \( BC \) и секущей \( CM \)).

4. \( \angle ABC = \angle BAC \) (так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный).

5. Из \( \angle KBM = \angle KMB \) и \( \angle KBM \) — это \( \angle ABC \), а \( \angle KMB \) — это часть \( \angle AMC \).

6. Из \( \angle BAC = \angle BCA \) и \( \angle BAC = \angle ABC \), то \( \angle BCA = \angle ABC \).

7. Рассмотрим \( \triangle AKM \) и \( \triangle ABC \).

\( \angle KAM = \angle CAB \) (общий угол).

\( \angle AKM = \angle ABC \) (как соответственные).

\( \angle AMK = \angle ACB \) (как накрест лежащие).

8. Так как \( \angle KBM = \angle KMB \) и \( \angle KBM = \angle ABC \), то \( \angle KMB = \angle ABC \).

9. Поскольку \( KM \parallel BC \), то \( \angle KMB \) и \( \angle MBC \) — накрест лежащие при секущей \( BM \) и параллельных \( KM \) и \( BC \). Это неверно.

Попробуем иначе.

1. \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \), \( \angle BAC = \angle BCA \).

2. \( KM \parallel BC \).

3. \( BK = KM \).

4. Рассмотрим \( \triangle BKM \). Он равнобедренный, \( \angle KBM = \angle KMB \).

5. Так как \( KM \parallel BC \), то \( \angle KMB = \angle MCB \) (накрест лежащие углы при секущей \( BM \) и параллельных \( KM \) и \( BC \)).

6. Значит, \( \angle KBM = \angle MCB \).

7. \( \angle KBM \) — это \( \angle ABC \).

8. \( \angle MCB \) — это \( \angle ACB \).

9. Таким образом, \( \angle ABC = \angle ACB \).

10. Но \( \angle BAC = \angle BCA \) (так как \( \triangle ABC \) равнобедренный).

11. Следовательно, \( \angle BAC = \angle ABC = \angle BCA \), что означает, что \( \triangle ABC \) — равносторонний.

12. Если \( \triangle ABC \) — равносторонний, то \( AB = BC = AC \).

13. Так как \( KM \parallel BC \), то \( \triangle AKM \) подобен \( \triangle ABC \).

14. Соотношение сторон: \( \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{KM}{BC} \).

15. У нас \( BK = KM \).

16. Из \( KM \parallel BC \), \( BK = KM \) и \( AB = BC \) следует, что \( BK = AB \). Это невозможно, так как \( K \) находится на стороне \( AB \).

Перечитаем условие: \( BK = KM \) и \( KM \parallel BC \).

1. \( KM \parallel BC \) => \( \angle AKM = \angle ABC \) (соответственные) и \( \angle AMK = \angle ACB \) (соответственные).

2. \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \) => \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

3. \( BK = KM \) => \( \triangle BKM \) равнобедренный => \( \angle KBM = \angle KMB \).

4. \( \angle KBM \) — это \( \angle ABC \).

5. \( \angle KMB \) — это часть \( \angle AMB \).

6. Из \( KM \parallel BC \) => \( \angle KMB = \angle MBC \) (накрест лежащие при секущей BM).

7. Значит, \( \angle KBM = \angle MBC \).

8. \( \angle ABC = \angle KBM \). \( \angle MBC \) — это часть \( \angle ABC \).

9. \( \angle ABC = \angle KBM \). \( \angle KMB \) — часть \( \angle AMB \).

10. \( KM \parallel BC \) => \( \angle AKM = \angle ABC \).

11. \( \angle KBM = \angle KMB \) => \( \angle ABC = \angle KMB \).

12. Из \( \angle AKM = \angle ABC \) и \( \angle ABC = \angle KMB \) => \( \angle AKM = \angle KMB \).

13. Рассмотрим \( \triangle AKM \). \( \angle KAM \) — общий. \( \angle AKM = \angle ABC \).

14. \( \angle AMK = \angle ACB \).

15. \( \angle BAC = \angle BCA \) (основание равнобедренного \( \triangle ABC \)).

16. Следовательно, \( \angle AKM = \angle AMK \).

17. В \( \triangle AKM \) углы при основании \( AM \) равны. Это означает, что \( \triangle AKM \) — равнобедренный.

18. Значит, \( AK = AM \).

19. Теперь вернемся к \( AB \) и \( BC \). \( AB = BC \). \( K \) на \( AB \), \( M \) на \( AC \).

20. \( AK = AM \).

21. \( AB = AK + KB \).

22. \( AC = AM + MC \).

23. Из \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).

24. Из \( KM \parallel BC \), \( BK = KM \) => \( \triangle BKM \) равнобедренный, \( \angle KBM = \angle KMB \).

25. \( \angle KBM = \angle ABC \). \( \angle KMB \) — внешний для \( \triangle AMK \). Нет.

26. \( \angle KMB \) — часть \( \angle AMB \).

27. \( KM \parallel BC \) => \( \angle AMK = \angle ACB \) (соответственные).

28. \( BK = KM \) => \( \triangle BKM \) равнобедренный => \( \angle KBM = \angle KMB \).

29. \( \angle KBM = \angle ABC \).

30. \( \angle ABC = \angle BAC \) ( \( \triangle ABC \) равнобедренный).

31. Значит, \( \angle KMB = \angle BAC \).

32. \( \angle ACB = \angle BAC \).

33. Из \( \angle AMK = \angle ACB \) и \( \angle ACB = \angle BAC \) => \( \angle AMK = \angle BAC \).

34. Мы имеем \( \angle AMK = \angle BAC \) и \( \angle BAC = \angle KMB \).

35. Следовательно, \( \angle AMK = \angle KMB \).

36. Это значит, что \( MK \) является биссектрисой \( \angle AMB \). Это не так.

Вернемся к \( \triangle AKM \).

\( \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{KM}{BC} \) (подобие \( \triangle AKM \thicksim \triangle ABC \)).

Из \( AB = BC \) и \( KM \thicksim BC \), то \( \frac{KM}{BC} = \frac{KM}{AB} \).

Из \( BK = KM \), то \( \frac{KM}{AB} = \frac{BK}{AB} \).

Значит, \( \frac{AK}{AB} = \frac{BK}{AB} \). Это означает, что \( AK = BK \).

Если \( AK = BK \), то \( K \) — середина \( AB \).

Если \( K \) — середина \( AB \), то \( AK = AB/2 \).

Тогда \( \frac{AM}{AC} = \frac{AK}{AB} = \frac{AB/2}{AB} = \frac{1}{2} \).

\( AM = \frac{1}{2} AC \).

Это означает, что \( M \) — середина \( AC \).

Тогда \( AM = MC \). Что и требовалось доказать.

Доказано.