№3. Вычислите: a) \[\frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}}\] b) \[\frac{3^{11} \cdot 27}{9^{5}}\]

Решение:

1. a) \[\frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}}\]
   1. В числителе сложим степени с одинаковым основанием: 6¹⁵ ⋅ 6¹¹ = 6¹⁵⁺¹¹ = 6²⁶
   2. Теперь разделим степени: \[\frac{6^{26}}{6^{24}}\]
   3. Вычтем степени: 6^26-24 = 6²
   4. Вычислим результат: 6² = 36
2. b) \[\frac{3^{11} \cdot 27}{9^{5}}\]
   1. Представим 27 и 9 как степени тройки: 27 = 3³; 9 = 3²
   2. Подставим в выражение: \[\frac{3^{11} \cdot 3^{3}}{(3^{2})^{5}}\]
   3. В числителе сложим степени: 3¹¹⁺³ = 3¹⁴
   4. В знаменателе перемножим степени: (3²)⁵ = 3^2⋅5 = 3¹⁰
   5. Теперь разделим степени: \[\frac{3^{14}}{3^{10}}\]
   6. Вычтем степени: 3^14-10 = 3⁴
   7. Вычислим результат: 3⁴ = 81

Ответ: a) 36; b) 81