3. Вычислите определённый интеграл: а) $\int_{2}^{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sin x\right)dx$; б) $\int_{1}^{2}\frac{4x^3-5x^2+2x+1}{x^2}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Вычислите определённый интеграл: а) $\int_{2}^{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sin x\right)dx$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Первообразная подынтегральной функции: $2\sqrt{x}-\cos x$. Тогда

\[\int_{2}^{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sin x\right)dx=\left[2\sqrt{x}-\cos x\right]_{2}^{3}=2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cos 2-\cos 3.\]

б) Разделим каждое слагаемое числителя на $x^2$:

\[\frac{4x^3-5x^2+2x+1}{x^2}=4x-5+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}.\]

Первообразная равна $2x^2-5x+2\ln x-\frac{1}{x}$. Вычисляем на пределах:

\[\left[2x^2-5x+2\ln x-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=\left(-\frac{5}{2}+2\ln 2\right)-(-4)=\frac{3}{2}+2\ln 2.\]

Ответ: а) $2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cos 2-\cos 3$; б) $\frac{3}{2}+2\ln 2$.

3. Вычислите определённый интеграл: а) \(\int_{2}^{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sin x\right)dx\); б) \(\int_{1}^{2}\frac{4x^3-5x^2+2x+1}{x^2}\,dx\).