3. Выполнить действия ($a>0, b>0$): 1) $a^3+\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{a^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}$; 2) $\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполнить действия ($a>0, b>0$): 1) $a^3+\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{a^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Применим правило возведения степени в степень:

\[a^3+\sqrt3\cdot\left(a^{-(\sqrt3-1)}\right)^{\sqrt3+1}=a^3+\sqrt3\cdot a^{-(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}.\]

Так как $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=2$, получаем $a^3+\sqrt3\cdot a^{-2}=a^3+\frac{\sqrt3}{a^2}$.

2) Вынесем $\sqrt[3]{a}$ в числителе: $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$. Тогда

\[\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}(1+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}.\]

Выражение определено при $a\ne b$, поскольку знаменатель не должен равняться нулю.

Ответ: 1) $a^3+\frac{\sqrt3}{a^2}$; 2) $\frac{\sqrt[3]{a}(1+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$, при $a\ne b$.

3. Выполнить действия (\(a>0, b>0\)): 1) \(a^3+\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{a^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}\); 2) \(\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\).