3) $x^5+x^4+1=0$

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) $x^5+x^4+1=0$$ Фото задания

3) $x^5+x^4+1=0$

Accepted Answer

Рассмотрим левую часть: $x^5+x^4+1=x^4(x+1)+1$.

Если $x\geq -1$, то $x^4(x+1)\geq 0$, поэтому $x^5+x^4+1\geq 1$; корней при таких $x$ нет.

Если $x<-1$, положим $t=-x>1$. Уравнение принимает вид $t^5-t^4-1=0$. Функция $f(t)=t^5-t^4-1$ строго возрастает при $t>1$, поскольку $f'(t)=t^3(5t-4)>0$. При этом $f(1)=-1$, а $f(2)=15$, значит, существует ровно один корень $t$ между 1 и 2.

Численно он равен $t\approx1.324718$, поэтому $x=-t\approx-1.324718$.

Ответ: один действительный корень, $x\approx-1.324718$.

3) \(x^5+x^4+1=0\)

Ответ: