3. Заданы три прямоугольных треугольника ABC, ABD, BCD: угол ABC = 90°, угол ABD = 90°, угол BCD = 90°, причём AB = 1, BC = 3, CD = 4. Докажите, что: DC перпендикулярна плоскости ABC; BCD перпендикулярна BCA.

Поскольку \(\angle ABC=90^\circ\), имеем \(AB\perp BC\). Поскольку \(\angle ABD=90^\circ\), имеем \(AB\perp BD\). Прямые \(BC\) и \(BD\) пересекаются и лежат в плоскости \(BCD\), поэтому \(AB\perp(BCD)\).

Отсюда \(AB\perp CD\), так как \(CD\) лежит в плоскости \(BCD\). Также \(CD\perp BC\), поскольку \(\angle BCD=90^\circ\). Прямые \(AB\,BC\) пересекаются и лежат в плоскости \(ABC\). Следовательно, \(CD\perp(ABC)\).

Плоскости \(BCD\) и \(BCA\) пересекаются по прямой \(BC\). При этом прямая \(AB\), лежащая в плоскости \(BCA\), перпендикулярна плоскости \(BCD\). Значит, \((BCD)\perp(BCA)\).

Оба утверждения доказаны.