300 Докажи, что для натуральных чисел верны утверждения: а) Сумма двух четных чисел — число четное. б) Сумма любых двух соседних чисел — число нечетное. в) Разность четного и нечетного числа — число нечетное. г) Произведение любых двух соседних чисел — число четное.

Доказательство

Пусть два четных числа будут \( 2k \) и \( 2m \), где k и m — натуральные числа.

а) Сумма двух четных чисел:

\( 2k + 2m = 2(k+m) \). Полученное число делится на 2, значит, оно четное.

б) Сумма любых двух соседних чисел:

Два соседних числа — это четное и нечетное. Пусть они будут \( 2k \) и \( 2m+1 \).

\( 2k + (2m+1) = 2k + 2m + 1 = 2(k+m) + 1 \). Полученное число имеет вид \( 2 \times \text{целое число} + 1 \), значит, оно нечетное.

в) Разность четного и нечетного числа:

Пусть четное число будет \( 2k \), а нечетное — \( 2m+1 \).

\( 2k - (2m+1) = 2k - 2m - 1 = 2(k-m) - 1 \). Это число можно представить как \( 2 \times \text{целое число} - 1 \), что эквивалентно \( 2 \times (\text{целое число} - 1) + 1 \), то есть оно нечетное.

г) Произведение любых двух соседних чисел:

Два соседних числа — это четное и нечетное. Пусть они будут \( 2k \) и \( 2m+1 \).

\( 2k \times (2m+1) = 2 \times [k(2m+1)] \). Так как произведение содержит множитель 2, оно является четным.

Ответ: Утверждения доказаны.