Задача 2. Доказать, что частное двух натуральных чисел не изменится, если каждое из них увеличить в одно и то же число раз (при делении без остатка).

Доказательство

Пусть даны два натуральных числа a и b, и их частное равно k. Это значит, что \( a : b = k \) или \( a = bk \).

Увеличим делимое (a) и делитель (b) в одно и то же число раз, например, в c раз. Тогда новое делимое будет ac, а новый делитель — bc.

Рассмотрим частное новых чисел: \( ac : bc \).

Используя свойство умножения, мы можем записать:

\( ac = (bk)c \)

Применяя переместительное и сочетательное свойства умножения, получим:

\( (bk)c = b(kc) = b(ck) = (bc)k \)

Таким образом, \( ac = (bc)k \).

Это означает, что частное от деления \( ac \) на \( bc \) равно k:

\( ac : bc = k \)

Так как \( a : b = k \) и \( ac : bc = k \), то частное не изменилось.

Вывод: При увеличении делимого и делителя в одно и то же число раз частное не меняется.