301 Заполни пробелы так, чтобы получившиеся утверждения были верны на множестве натуральных чисел. Докажи их. а) Сумма четного и нечетного числа — число ____ б) Сумма любых двух нечетных чисел — число ____ в) Разность любых двух нечетных чисел — число ____ г) Произведение четного и нечетного числа — число ____

Заполнение пробелов и доказательство

Пусть четное число равно \( 2k \), а нечетное число равно \( 2m+1 \), где k и m — натуральные числа.

а) Сумма четного и нечетного числа:

\( 2k + (2m+1) = 2k + 2m + 1 = 2(k+m) + 1 \). Полученное число имеет вид \( 2 \times \text{целое число} + 1 \), значит, оно нечетное.

б) Сумма любых двух нечетных чисел:

Пусть два нечетных числа будут \( 2k+1 \) и \( 2m+1 \).

\( (2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1) \). Полученное число делится на 2, значит, оно четное.

в) Разность любых двух нечетных чисел:

Пусть два нечетных числа будут \( 2k+1 \) и \( 2m+1 \).

\( (2k+1) - (2m+1) = 2k+1 - 2m-1 = 2k - 2m = 2(k-m) \). Полученное число делится на 2, значит, оно четное.

г) Произведение четного и нечетного числа:

Пусть четное число будет \( 2k \), а нечетное — \( 2m+1 \).

\( 2k \times (2m+1) = 2 \times [k(2m+1)] \). Так как произведение содержит множитель 2, оно является четным.

Ответ: а) нечетное; б) четное; в) четное; г) четное.