302 Докажи или опровергни следующие утверждения на множестве натуральных чисел: а) Если разность двух чисел четна, то их сумма четна. б) Если разность двух чисел нечетна, то их сумма нечетна. в) Если сумма двух чисел четна, то они оба четны. г) Если сумма двух чисел четна, то они оба нечетны. д) Если сумма двух чисел четна, то хотя бы одно из них четно. е) Если сумма двух чисел четна, то хотя бы одно из них нечетно.

Доказательство и опровержение утверждений

Пусть два натуральных числа — a и b.

а) Если разность двух чисел четна, то их сумма четна.

Пусть \( a - b = 2k \) (разность четна). Это означает, что a и b имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Если a и b оба четные: \( a = 2m, b = 2n \). Тогда \( a+b = 2m+2n = 2(m+n) \), что является четным числом.

Если a и b оба нечетные: \( a = 2m+1, b = 2n+1 \). Тогда \( a+b = (2m+1)+(2n+1) = 2m+2n+2 = 2(m+n+1) \), что является четным числом.

Утверждение верно.

б) Если разность двух чисел нечетна, то их сумма нечетна.

Пусть \( a - b = 2k+1 \) (разность нечетна). Это означает, что a и b имеют разную четность (одно четное, другое нечетное).

Пусть \( a = 2m \) (четное), \( b = 2n+1 \) (нечетное).

Тогда \( a+b = 2m + (2n+1) = 2m+2n+1 = 2(m+n)+1 \), что является нечетным числом.

Утверждение верно.

в) Если сумма двух чисел четна, то они оба четны.

Рассмотрим случай, когда оба числа нечетные: \( a = 2m+1, b = 2n+1 \). Их сумма \( a+b = (2m+1)+(2n+1) = 2m+2n+2 = 2(m+n+1) \), что является четным числом. Следовательно, сумма двух нечетных чисел четна.

Утверждение неверно (контрпример: 3 + 5 = 8).

г) Если сумма двух чисел четна, то они оба нечетны.

Рассмотрим случай, когда оба числа четные: \( a = 2m, b = 2n \). Их сумма \( a+b = 2m+2n = 2(m+n) \), что является четным числом. Следовательно, сумма двух четных чисел четна.

Утверждение неверно (контрпример: 2 + 4 = 6).

д) Если сумма двух чисел четна, то хотя бы одно из них четно.

Из пунктов (в) и (г) мы знаем, что сумма двух чисел может быть четной, если оба числа четные, или если оба числа нечетные. Утверждение, что хотя бы одно из них четно, не всегда верно, так как возможен случай, когда оба числа нечетные.

Утверждение неверно (контрпример: 3 + 5 = 8).

е) Если сумма двух чисел четна, то хотя бы одно из них нечетно.

Из пунктов (в) и (г) мы знаем, что сумма двух чисел может быть четной, если оба числа четные, или если оба числа нечетные. Утверждение, что хотя бы одно из них нечетно, не всегда верно, так как возможен случай, когда оба числа четные.

Утверждение неверно (контрпример: 2 + 4 = 6).

Ответ: а) верно; б) верно; в) неверно; г) неверно; д) неверно; е) неверно.