31. Исходя из формулы ац.с = v²/r для определения центростремительного ускорения при движении по окружности и формулы g = (g₀R³)/(R₃+h)², выведенной вами при решении задачи 25, получите следующую формулу для расчета первой космической скоро-сти на высоте h над поверхностью Земли: v = \(\sqrt{\frac{g₀R³}{R₃+h}}\).

Question

Вопрос:

Фото задания

31. Исходя из формулы ац.с = v²/r для определения центростремительного ускорения при движении по окружности и формулы g = (g₀R³)/(R₃+h)², выведенной вами при решении задачи 25, получите следующую формулу для расчета первой космической скоро-сти на высоте h над поверхностью Земли: v = \(\sqrt{\frac{g₀R³}{R₃+h}}\).

Accepted Answer

Решение:

Центростремительное ускорение \( a_{ц.с.} \) при движении по окружности определяется формулой:

\[ a_{ц.с.} = \frac{v^2}{r} \]

где \( v \) — скорость движения, \( r \) — радиус окружности.

Ускорение свободного падения на высоте \( h \) над поверхностью Земли дается формулой:

\[ g = \frac{g_0 R_3^2}{(R_3 + h)^2} \]

где \( g_0 \) — ускорение свободного падения у поверхности Земли, \( R_3 \) — радиус Земли.

Первая космическая скорость — это скорость, которую нужно придать телу у поверхности Земли, чтобы оно двигалось по круговой орбите на этой высоте. В данном случае радиус орбиты равен \( r = R_3 + h \).

Приравниваем формулу ускорения свободного падения и центростремительного ускорения, подставив \( r = R_3 + h \):

\[ g = \frac{v^2}{R_3 + h} \]

\[ \frac{g_0 R_3^2}{(R_3 + h)^2} = \frac{v^2}{R_3 + h} \]

Выразим \( v^2 \):

\[ v^2 = \frac{g_0 R_3^2}{(R_3 + h)^2} \cdot (R_3 + h) \]

\[ v^2 = \frac{g_0 R_3^2}{R_3 + h} \]

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти \( v \):

\[ v = \sqrt{\frac{g_0 R_3^2}{R_3 + h}} = R_3 \sqrt{\frac{g_0}{R_3 + h}} \]

Обратите внимание: В условии задачи предполагается другая формула для \( g \) и конечный результат. Вероятно, в задаче опечатка или используется упрощенная модель. Если следовать точно условию задания, то формула получается такая. Если же предположить, что \( g \) в формуле \( a_{ц.с.} = \frac{v^2}{r} \) относится к ускорению свободного падения на данной высоте, а \( r = R_3 + h \), то:

\[ v = \sqrt{g \cdot r} = \sqrt{\frac{g_0 R_3^2}{(R_3 + h)^2} \cdot (R_3 + h)} = \sqrt{\frac{g_0 R_3^2}{R_3 + h}} = R_3 \sqrt{\frac{g_0}{R_3 + h}} \]

Чтобы получить формулу из задания \( v = \sqrt{\frac{g_0 R_3^3}{R_3 + h}} \) , нужно изменить предпосылку. Возможно, в исходной формуле для \( g \) должна быть \( R_3^3 \) вместо \( R_3^2 \), или \( r \) в \( a_{ц.с.} \) подставляется иначе.

Если использовать формулу из условия задачи:

\[ v = \sqrt{\frac{g_0 R_3^3}{R_3 + h}} \]

Ответ:

Решение: