31. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам и образует со стороной BC угол 30°. AB = 12 см. Найдите периметр параллелограмма.

Так как высота делит сторону \(CD\) пополам, её горизонтальная проекция равна:

\(CD:2=AB:2=12:2=6\) см.

Высота образует со стороной \(BC\) угол \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике:

\(\cos 30^\circ=\dfrac{6}{BC}\).

Следовательно,

\(BC=\dfrac{6}{\cos30^\circ}=\dfrac{6}{\sqrt3/2}=4\sqrt3\) см.

Однако по условию высота делит основание пополам, а угол между высотой и боковой стороной даёт прямоугольный треугольник с углом \(30^\circ\); его гипотенуза равна \(12\) см, то есть \(BC=12\) см.

Тогда:

\(P=2(AB+BC)=2(12+12)=48\) см.

Ответ: 48 см.