312 Для данных числовых наборов составьте таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений от среднего и найдите дисперсию: a) -1, 0, 4; б) 2, 3, 7; в) -3, 1, 2, 4; г) 2, 6, 7, 5; д) -2, -1, 1, 2, 5;\(\ne\)) -1, -3, -2, 3, 3.

Решение:

Чтобы найти дисперсию, сначала вычислим среднее арифметическое, затем отклонения каждого числа от среднего и квадраты этих отклонений.

а) -1, 0, 4

1. Среднее арифметическое: \( \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1 \).
2. Отклонения от среднего: \( -1 - 1 = -2 \), \( 0 - 1 = -1 \), \( 4 - 1 = 3 \).
3. Квадраты отклонений: \( (-2)^2 = 4 \), \( (-1)^2 = 1 \), \( 3^2 = 9 \).
4. Дисперсия (среднее квадратов отклонений): \( \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67 \).

б) 2, 3, 7

1. Среднее арифметическое: \( \frac{2 + 3 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4 \).
2. Отклонения от среднего: \( 2 - 4 = -2 \), \( 3 - 4 = -1 \), \( 7 - 4 = 3 \).
3. Квадраты отклонений: \( (-2)^2 = 4 \), \( (-1)^2 = 1 \), \( 3^2 = 9 \).
4. Дисперсия: \( \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67 \).

в) -3, 1, 2, 4

1. Среднее арифметическое: \( \frac{-3 + 1 + 2 + 4}{4} = \frac{4}{4} = 1 \).
2. Отклонения от среднего: \( -3 - 1 = -4 \), \( 1 - 1 = 0 \), \( 2 - 1 = 1 \), \( 4 - 1 = 3 \).
3. Квадраты отклонений: \( (-4)^2 = 16 \), \( 0^2 = 0 \), \( 1^2 = 1 \), \( 3^2 = 9 \).
4. Дисперсия: \( \frac{16 + 0 + 1 + 9}{4} = \frac{26}{4} = 6.5 \).

г) 2, 6, 7, 5

1. Среднее арифметическое: \( \frac{2 + 6 + 7 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5 \).
2. Отклонения от среднего: \( 2 - 5 = -3 \), \( 6 - 5 = 1 \), \( 7 - 5 = 2 \), \( 5 - 5 = 0 \).
3. Квадраты отклонений: \( (-3)^2 = 9 \), \( 1^2 = 1 \), \( 2^2 = 4 \), \( 0^2 = 0 \).
4. Дисперсия: \( \frac{9 + 1 + 4 + 0}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 \).

д) -2, -1, 1, 2, 5

1. Среднее арифметическое: \( \frac{-2 + (-1) + 1 + 2 + 5}{5} = \frac{5}{5} = 1 \).
2. Отклонения от среднего: \( -2 - 1 = -3 \), \( -1 - 1 = -2 \), \( 1 - 1 = 0 \), \( 2 - 1 = 1 \), \( 5 - 1 = 4 \).
3. Квадраты отклонений: \( (-3)^2 = 9 \), \( (-2)^2 = 4 \), \( 0^2 = 0 \), \( 1^2 = 1 \), \( 4^2 = 16 \).
4. Дисперсия: \( \frac{9 + 4 + 0 + 1 + 16}{5} = \frac{30}{5} = 6 \).

е) -1, -3, -2, 3, 3

1. Среднее арифметическое: \( \frac{-1 + (-3) + (-2) + 3 + 3}{5} = \frac{0}{5} = 0 \).
2. Отклонения от среднего: \( -1 - 0 = -1 \), \( -3 - 0 = -3 \), \( -2 - 0 = -2 \), \( 3 - 0 = 3 \), \( 3 - 0 = 3 \).
3. Квадраты отклонений: \( (-1)^2 = 1 \), \( (-3)^2 = 9 \), \( (-2)^2 = 4 \), \( 3^2 = 9 \), \( 3^2 = 9 \).
4. Дисперсия: \( \frac{1 + 9 + 4 + 9 + 9}{5} = \frac{32}{5} = 6.4 \).

Ответ: Дисперсия наборов: а) ~4.67; б) ~4.67; в) 6.5; г) 3.5; д) 6; е) 6.4.