316 Анна и Инна тренируются в стрельбе из лука. За один подход каждая делает пять выстрелов: по одному по каждой из пяти мишеней. Результаты 30 подходов собраны в таблицу 56. Найдите среднее и дисперсию результатов каждой девушки. Какой вывод можно сделать по этим данным? Таблица 56 Число поражённых мишеней 0 1 2 3 4 5 Резул 2 15 6 5 1 1 ны Резул 4 23 2 1 0 0 ны

Решение:

Данные в таблице представляют собой частоты попаданий в каждую мишень для двух девушек (предположим, Анна — первая строка, Инна — вторая строка).

1. Результаты Анны (первая строка)

Число поражённых мишеней (x): 0, 1, 2, 3, 4, 5

Частота (f): 2, 15, 6, 5, 1, 1

1. Среднее арифметическое (среднее число поражённых мишеней):
2. Общее число выстрелов (подходов) = \( 2 + 15 + 6 + 5 + 1 + 1 = 30 \).
3. Сумма произведений числа мишеней на их частоту: \( \sum (x \cdot f) = (0 \cdot 2) + (1 \cdot 15) + (2 \cdot 6) + (3 \cdot 5) + (4 \cdot 1) + (5 \cdot 1) = 0 + 15 + 12 + 15 + 4 + 5 = 51 \).
4. Среднее арифметическое: \( \bar{x}_{Анна} = \frac{\sum (x \cdot f)}{n} = \frac{51}{30} = 1.7 \).
5. Дисперсия:
6. Сначала найдем сумму квадратов отклонений от среднего: \( \sum f \cdot (x - \bar{x})^2 \).
7. \( \bar{x} = 1.7 \).
8. \( \sum f \cdot (x - 1.7)^2 = 2 \cdot (0 - 1.7)^2 + 15 \cdot (1 - 1.7)^2 + 6 \cdot (2 - 1.7)^2 + 5 \cdot (3 - 1.7)^2 + 1 \cdot (4 - 1.7)^2 + 1 \cdot (5 - 1.7)^2 \)
9. \( = 2 \cdot (-1.7)^2 + 15 \cdot (-0.7)^2 + 6 \cdot (0.3)^2 + 5 \cdot (1.3)^2 + 1 \cdot (2.3)^2 + 1 \cdot (3.3)^2 \)
10. \( = 2 \cdot 2.89 + 15 \cdot 0.49 + 6 \cdot 0.09 + 5 \cdot 1.69 + 1 \cdot 5.29 + 1 \cdot 10.89 \)
11. \( = 5.78 + 7.35 + 0.54 + 8.45 + 5.29 + 10.89 = 38.3 \).
12. Дисперсия (для генеральной совокупности): \( D_{Анна} = \frac{\sum f \cdot (x - \bar{x})^2}{n} = \frac{38.3}{30} \approx 1.277 \).

2. Результаты Инны (вторая строка)

Число поражённых мишеней (x): 0, 1, 2, 3, 4, 5

Частота (f): 4, 23, 2, 1, 0, 0

1. Среднее арифметическое (среднее число поражённых мишеней):
2. Общее число выстрелов (подходов) = \( 4 + 23 + 2 + 1 + 0 + 0 = 30 \).
3. Сумма произведений числа мишеней на их частоту: \( \sum (x \cdot f) = (0 \cdot 4) + (1 \cdot 23) + (2 \cdot 2) + (3 \cdot 1) + (4 \cdot 0) + (5 \cdot 0) = 0 + 23 + 4 + 3 + 0 + 0 = 30 \).
4. Среднее арифметическое: \( \bar{x}_{Инна} = \frac{\sum (x \cdot f)}{n} = \frac{30}{30} = 1 \).
5. Дисперсия:
6. Сначала найдем сумму квадратов отклонений от среднего: \( \sum f \cdot (x - \bar{x})^2 \).
7. \( \bar{x} = 1 \).
8. \( \sum f \cdot (x - 1)^2 = 4 \cdot (0 - 1)^2 + 23 \cdot (1 - 1)^2 + 2 \cdot (2 - 1)^2 + 1 \cdot (3 - 1)^2 + 0 \cdot (4 - 1)^2 + 0 \cdot (5 - 1)^2 \)
9. \( = 4 \cdot (-1)^2 + 23 \cdot (0)^2 + 2 \cdot (1)^2 + 1 \cdot (2)^2 + 0 + 0 \)
10. \( = 4 \cdot 1 + 23 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \)
11. \( = 4 + 0 + 2 + 4 = 10 \).
12. Дисперсия (для генеральной совокупности): \( D_{Инна} = \frac{\sum f \cdot (x - \bar{x})^2}{n} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \).

3. Вывод:

Среднее число поражённых мишеней Анной (1.7) выше, чем у Инны (1). Дисперсия результатов Анны (1.277) также выше, чем у Инны (0.333). Это означает, что Анна в среднем поражает больше мишеней, но её результаты более разбросаны. Инна поражает мишени реже, но её результаты более стабильны (меньший разброс).

Ответ: Среднее Анны = 1.7, Дисперсия Анны ≈ 1.277. Среднее Инны = 1, Дисперсия Инны ≈ 0.333. Анна в среднем поражает больше мишеней, но её результаты менее стабильны, чем у Инны.