312. Вычислить: 1) $\frac{\log_3 216}{\log_8 3}-\frac{\log_3 24}{\log_{72}3}$; 2) $\frac{\log_2 192}{\log_{12}2}-\frac{\log_2 24}{\log_{96}2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 312. Вычислить: 1) $\frac{\log_3 216}{\log_8 3}-\frac{\log_3 24}{\log_{72}3}$; 2) \(\frac{\log_2…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Обозначим $a=\ln2$, $b=\ln3$. Тогда $\ln216=3a+3b$, $\ln24=3a+b$, $\ln72=3a+2b$, $\ln8=3a$.

\[\frac{\log_3 216}{\log_8 3}=\frac{\frac{3a+3b}{b}}{\frac{b}{3a}}=\frac{9a(a+b)}{b^2},\]

\[\frac{\log_3 24}{\log_{72}3}=\frac{\frac{3a+b}{b}}{\frac{b}{3a+2b}}=\frac{(3a+b)(3a+2b)}{b^2}.\]

Поэтому

\[\frac{9a(a+b)-(3a+b)(3a+2b)}{b^2}=\frac{-2b^2}{b^2}=-2.\]

2) Обозначим $a=\ln2$, $b=\ln3$. Так как $\ln192=6a+b$, $\ln12=2a+b$, $\ln24=3a+b$, $\ln96=5a+b$, получаем:

\[\frac{\log_2 192}{\log_{12}2}=\frac{(6a+b)(2a+b)}{a^2},\]

\[\frac{\log_2 24}{\log_{96}2}=\frac{(3a+b)(5a+b)}{a^2}.\]

Разность равна

\[\frac{(6a+b)(2a+b)-(3a+b)(5a+b)}{a^2}=\frac{-3a^2}{a^2}=-3.\]

Ответ: 1) $-2$; 2) $-3$.

312. Вычислить: 1) \(\frac{\log_3 216}{\log_8 3}-\frac{\log_3 24}{\log_{72}3}\); 2) \(\frac{\log_2 192}{\log_{12}2}-\frac{\log_2 24}{\log_{96}2}\).