33. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите тождества: а) $A\setminus B=A\cap\overline B$; б) $A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$; в) $A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 33. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите тождества: а) $A\setminus B=A\cap\overline B$; б) \(A\triangle B=(A\setminus…$ Фото задания

33. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите тождества: а) $A\setminus B=A\cap\overline B$; б) $A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$; в) $A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$.

Accepted Answer

В каждой области диаграммы проверим, принадлежит ли ей элемент рассматриваемого множества.

$A\setminus B$ состоит из элементов, принадлежащих $A$, но не принадлежащих $B$. Это ровно элементы $A\cap\overline B$.
Симметрическая разность $A\triangle B$ состоит из элементов, принадлежащих ровно одному из множеств. Такие элементы лежат либо в $A\setminus B$, либо в $B\setminus A$; эти области не пересекаются.
В $A\cup B$ входят элементы из обоих кругов, а вычитание $A\cap B$ удаляет общую часть. Остаются части, принадлежащие ровно одному множеству.

Следовательно, все три тождества верны; на диаграммах в каждой паре равны закрашиваемые области.

33. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите тождества: а) \(A\setminus B=A\cap\overline B\); б) \(A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\); в) \(A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)\).

Ответ: