34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенства: а) $\overline A\setminus B=B\setminus A$; б) $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B$; в) $A\setminus\overline B=\overline A\cup\overline B$; г) $A\setminus\overline B=A\cup\overline B$; д) $A\setminus\overline B=A\cap B$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенства: а) $\overline A\setminus B=B\setminus A$; б)…$ Фото задания

34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенства: а) $\overline A\setminus B=B\setminus A$; б) $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B$; в) $A\setminus\overline B=\overline A\cup\overline B$; г) $A\setminus\overline B=A\cup\overline B$; д) $A\setminus\overline B=A\cap B$.

Accepted Answer

Обозначим универсальное множество через $U$. Сравним области, соответствующие левой и правой частям.

а) Равенство неверно. Например, при $A=\varnothing$, $B=\{1\}$ левая часть равна $U\setminus\{1\}$, а правая — $\{1\}$.
б) Верно: по правилу дополнения разности $\overline{A\setminus B}=\overline{A\cap\overline B}=\overline A\cup B$.
в) Неверно: $A\setminus\overline B=A\cap B$, а это не всегда равно $\overline A\cup\overline B$. Например, при $A=B=U$ левая часть равна $U$, правая — $\varnothing$.
г) Неверно: при $A=B=U$ левая часть равна $U$, правая — $U$; но при $A=\varnothing$, $B=U$ левая часть равна $\varnothing$, правая — $\varnothing$. Возьмём $A=U$, $B=\varnothing$: левая часть равна $\varnothing$, правая — $U$. Это контрпример.
д) Верно, поскольку $A\setminus\overline B=A\cap\overline{\overline B}=A\cap B$.

Ответ: верны б), д); неверны а), в), г).