33. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми A₁D и B₁D₁. Ответ дайте в градусах.

Пусть ребро куба равно a. Зададим координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A₁(0,0,a), B₁(a,0,a), D₁(0,a,a).

Направляющие векторы прямых: A₁D — (0, a, −a), B₁D₁ — (−a, a, 0). Тогда

\[\cos\varphi=\frac{|(0,a,-a)\cdot(-a,a,0)|}{\sqrt{2a^2}\sqrt{2a^2}}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac12.\]

Следовательно, угол между прямыми равен 60°.

Ответ: 60°.