34. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 5, BC = 4, AA₁ = 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A₁, B₁.

Рассмотрим параллелепипед с координатами A(0,0,0), B(5,0,0), C(5,4,0), D(0,4,0), A₁(0,0,3), B₁(5,0,3). Искомое тело — призма с треугольными основаниями ABB₁ и DCC₁? Однако C₁ и C не входят в число заданных вершин, поэтому такое описание не подходит. Удобно увидеть тело как исходный параллелепипед за вычетом треугольной призмы у задней верхней части.

Точки A, B, C, D образуют прямоугольник основания, а A₁B₁ — верхнее ребро над AB. Выпуклая оболочка шести заданных точек имеет объём: площадь основания прямоугольника ABCD умножить на высоту, с коэффициентом 1/2 для части, ограниченной плоскостью через D, C, B₁, A₁.

Можно вычислить непосредственно: объём параллелепипеда равен 5·4·3 = 60. Отсекаемая треугольная призма имеет площадь треугольного сечения 1/2·4·3 = 6 и длину 5, её объём 30. Поэтому искомый объём равен 60−30=30.

Ответ: 30.