332. В классе 30 человек, среди них две подруги - Аня и Катя. Учащихся случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что Аня и Катя окажутся в одной и той же группе.

Всего в классе 30 человек. При случайном разбиении класса на две группы по 15 человек.

Чтобы Аня и Катя оказались в одной группе, нужно рассмотреть два случая: либо они обе в первой группе, либо обе во второй группе.

Предположим, Аня уже определена в первую группу. Тогда в этой группе осталось 14 мест. Всего осталось 29 человек, из которых нужно выбрать 14.

Вероятность того, что Катя окажется в первой группе с Аней равна количеству способов выбрать 14 человек из оставшихся 29, деленному на общее количество способов сформировать группу из 15 человек. Это можно представить как:

$$P(\text{Аня и Катя в одной группе}) = \frac{\binom{28}{14}}{\binom{29}{14}}$$

Используем формулу для биномиальных коэффициентов: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

$$P = \frac{\frac{28!}{14!14!}}{\frac{29!}{14!15!}} = \frac{28! \cdot 14! \cdot 15!}{14! \cdot 14! \cdot 29!} = \frac{15}{29}$$

Вероятность, что Аня и Катя в одной группе: $$\frac{15}{29}$$.

Ответ: \(\frac{15}{29}\)