34. Основания трапеции равны 8 и 48, одна из боковых сторон равна 14, а синус угла между ней и одним из оснований равен 4/7. Найдите площадь трапеции.

Краткая запись:

• Трапеция ABCD
• Основания: BC = 8, AD = 48
• Боковая сторона (например, AB) = 14
• Синус угла между боковой стороной и основанием: \( \sin{\alpha} = \frac{4}{7} \)
• Найти: Площадь (S) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим высоту трапеции. Пусть \(\alpha\) — угол между боковой стороной AB и основанием AD. Высота $$h$$, опущенная из вершины B на основание AD, образует прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. В этом треугольнике высота $$h$$ является противолежащим катетом к углу \(\alpha\). Используем формулу: $$h = AB \cdot \sin{\alpha}$$.
2. Шаг 2: Подставляем известные значения. $$h = 14 \cdot \frac{4}{7}$$.
3. Шаг 3: Вычисляем высоту. $$h = \frac{14 \cdot 4}{7} = 2 \cdot 4 = 8$$.
4. Шаг 4: Находим площадь трапеции. Используем формулу площади трапеции: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$.
5. Шаг 5: Подставляем значения оснований и высоты. $$S = \frac{8 + 48}{2} \cdot 8$$.
6. Шаг 6: Вычисляем площадь. $$S = \frac{56}{2} \cdot 8 = 28 \cdot 8 = 224$$.

Ответ: 224