37. В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия КМ трапеции равна 22, а меньшее основание ВС равно 10.

Краткая запись:

• Трапеция ABCD
• AB = CD (равнобедренная)
• CH ⊥ AD, CH — высота
• KM — средняя линия, KM = 22
• BC = 10
• Найти: HD — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем длину большего основания AD. Средняя линия трапеции KM равна полусумме оснований: $$KM = \frac{BC + AD}{2}$$.
2. Шаг 2: Подставим известные значения: $$22 = \frac{10 + AD}{2}$$.
3. Шаг 3: Решим уравнение для AD: $$22 \cdot 2 = 10 + AD$$, $$44 = 10 + AD$$, $$AD = 44 - 10 = 34$$.
4. Шаг 4: Определим отрезки на большем основании. В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из вершин B и C на основание AD (пусть это BH и CH), то образуется прямоугольник BCHK и два равных прямоугольных треугольника \(\triangle ABH\) и \(\triangle CDH\).
5. Шаг 5: Запишем соотношение отрезков на основании AD. $$AD = AH + HK + KD$$.
6. Шаг 6: Учитывая, что BCHK — прямоугольник, $$HK = BC = 10$$.
7. Шаг 7: Так как трапеция равнобедренная, то \(\triangle ABH \cong \triangle CDH\), следовательно, $$AH = HD$$.
8. Шаг 8: Подставим эти равенства в выражение для AD: $$AD = HD + BC + HD = 2  HD + BC$$.
9. Шаг 9: Подставим найденное значение AD и известное значение BC: $$34 = 2  HD + 10$$.
10. Шаг 10: Решим уравнение для HD: $$2  HD = 34 - 10$$, $$2  HD = 24$$, $$HD = \frac{24}{2} = 12$$.

Ответ: 12