35. Основания трапеции равны 12 и 30, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен √11/6. Найдите площадь трапеции.

Краткая запись:

• Трапеция ABCD
• Основания: BC = 12, AD = 30
• Боковая сторона (например, AB) = 18
• Косинус угла между боковой стороной и основанием: \( \cos{\alpha} = \frac{\sqrt{11}}{6} \)
• Найти: Площадь (S) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем синус угла. Так как нам дан косинус угла \(\alpha\), мы можем найти синус, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$$.
2. Шаг 2: Подставим значение косинуса: $$\sin^2{\alpha} + (\frac{\sqrt{11}}{6})^2 = 1$$.
3. Шаг 3: Вычислим квадрат косинуса: $$\sin^2{\alpha} + \frac{11}{36} = 1$$.
4. Шаг 4: Найдем $$\sin^2{\alpha}$$: $$\sin^2{\alpha} = 1 - \frac{11}{36} = \frac{36-11}{36} = \frac{25}{36}$$.
5. Шаг 5: Найдем синус угла (так как угол острый, синус положителен): $$\sin{\alpha} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$$.
6. Шаг 6: Вычислим высоту трапеции. Высота $$h$$, опущенная из вершины B на основание AD, образует прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. В этом треугольнике $$h = AB \cdot \sin{\alpha}$$.
7. Шаг 7: Подставим известные значения: $$h = 18 \cdot \frac{5}{6}$$.
8. Шаг 8: Вычислим высоту: $$h = \frac{18 \cdot 5}{6} = 3 \cdot 5 = 15$$.
9. Шаг 9: Вычислим площадь трапеции по формуле $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$.
10. Шаг 10: Подставим значения: $$S = \frac{12 + 30}{2} \cdot 15$$.
11. Шаг 11: Вычислим площадь: $$S = \frac{42}{2} \cdot 15 = 21 \cdot 15 = 315$$.

Ответ: 315