342 Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Проведем из центра окружности О перпендикуляры к двум хордам AB и CD. Пусть эти перпендикуляры пересекают хорды в точках M и N соответственно. По условию, эти хорды равноудалены от центра, то есть OM = ON.
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔOMA и ΔONC (или ΔOMC и ΔONA, в зависимости от того, как обозначены хорды). OA и OC — радиусы окружности, поэтому OA = OC.
3. Шаг 3: По теореме Пифагора в ΔOMA: AM² = OA² - OM². В ΔONC: CN² = OC² - ON².
4. Шаг 4: Так как OA = OC и OM = ON, то AM² = CN², следовательно AM = CN.
5. Шаг 5: Так как перпендикуляры, проведенные из центра, делят хорды пополам, то AB = 2 * AM и CD = 2 * CN. Поскольку AM = CN, то AB = CD.

Вывод: Хорды, равноудаленные от центра окружности, равны.