343 Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая является касательной к окружности.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть O — центр окружности, r — её радиус. Пусть дана прямая L, и расстояние от точки O до прямой L равно r.
2. Шаг 2: По определению, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой L как M. Тогда OM = r.
3. Шаг 3: Точка M находится на окружности, так как расстояние от центра O до M равно радиусу r.
4. Шаг 4: Рассмотрим любую другую точку P на прямой L, отличную от M. Треугольник ΔOMP является прямоугольным (так как OM ⊥ L).
5. Шаг 5: По теореме Пифагора, OP² = OM² + MP². Так как OM = r и MP > 0, то OP² > r², следовательно, OP > r.
6. Шаг 6: Это означает, что любая другая точка P на прямой L находится дальше от центра O, чем точка M. Следовательно, прямая L имеет с окружностью только одну общую точку — точку M.

Вывод: По определению, прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, является касательной к окружности.