344. Решить уравнение: 1) $\log_4((x+2)(x+3))+\log_4\frac{x-2}{x+3}=2$; 2) $\log_2\frac{x-1}{x+4}+\log_2((x-1)(x+4))=2$; 3) $\log_3x^2-\log_3\frac{x}{x+6}=3$; 4) $\log_2\frac{x+4}{x}+\log_2x^2=5$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 344. Решить уравнение: 1) $\log_4((x+2)(x+3))+\log_4\frac{x-2}{x+3}=2$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x>2$ или $x<-3$. Объединяем логарифмы; при $x\ne-3$ произведение аргументов сокращается до $x^2-4$. Поэтому $x^2-4=4^2=16$, откуда $x=\pm2\sqrt5$. ОДЗ оставляет $x=2\sqrt5$.
ОДЗ требует, чтобы оба аргумента были положительны; это выполняется при $x>1$ или $x<-4$. Произведение аргументов равно $(x-1)^2$, поэтому $(x-1)^2=4$, откуда $x=3$ или $x=-1$. ОДЗ удовлетворяет только $x=3$.
ОДЗ: $x\ne0$ и $\frac{x}{x+6}>0$. Объединяем логарифмы: $\frac{x^2}{x/(x+6)}=x(x+6)=3^3=27$. Получаем $x^2+6x-27=0$, откуда $x=3$ или $x=-9$; оба значения входят в ОДЗ.
ОДЗ: $x>0$ или $x<-4$. Объединяем логарифмы: $\frac{x+4}{x}\cdot x^2=x(x+4)=2^5=32$. Тогда $x^2+4x-32=0$, откуда $x=4$ или $x=-8$; оба значения допустимы.

Ответ: 1) $2\sqrt5$; 2) 3; 3) 3 и −9; 4) 4 и −8.

344. Решить уравнение: 1) \(\log_4((x+2)(x+3))+\log_4\frac{x-2}{x+3}=2\); 2) \(\log_2\frac{x-1}{x+4}+\log_2((x-1)(x+4))=2\); 3) \(\log_3x^2-\log_3\frac{x}{x+6}=3\); 4) \(\log_2\frac{x+4}{x}+\log_2x^2=5\).