№35. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

Обозначим длину стороны AB через a, а длину стороны BC через b.

1. Поскольку BM — биссектриса угла B, расстояния от M до прямых BA и BC равны.
2. Точка M лежит на AD, а AD параллельна BC. Поэтому расстояние от M до BC равно высоте параллелограмма, опущенной на сторону AB.
3. Поскольку CM — биссектриса угла C, расстояния от M до прямых CB и CD равны. Так как CD параллельна AB, расстояние от M до AB также равно этой высоте.
4. Рассмотрим треугольник ABM. Его площадь, вычисленная по основанию AB, равна половине площади параллелограмма: основание AB равно a, а высота от M к AB равна высоте параллелограмма. Вычисленная по основанию AM, площадь равна половине произведения AM на высоту параллелограмма. Следовательно, a·h/2 = AM·h/2, откуда AM = AB = a.
5. В параллелограмме AD = BC = b; равенство AM = a само по себе не доказывает, что M — середина AD. Используя также BM как биссектрису, получаем в треугольнике ABM: ∠ABM = ∠BMA, поскольку AB параллельна DC, а BC параллельна AD; поэтому противоположные им стороны AM и AB равны. Аналогично из биссектрисы CM следует MD = CD = AB.
6. Значит, AM = MD, и поскольку M лежит на AD, точка M — середина AD.

Доказано: M — середина AD.