35) Решите систему уравнений: x²-y²=27, xy=18.

35. Решение системы уравнений:

Дана система:

\( \begin{cases} x^2 - y^2 = 27 \\ xy = 18 \end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = \frac{18}{x} \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( x^2 - \left(\frac{18}{x}\right)^2 = 27 \)

\( x^2 - \frac{324}{x^2} = 27 \)

Умножим обе части на \( x^2 \) (предполагаем, что \( x \neq 0 \), что верно, так как \( xy=18 \)):

\( x^4 - 324 = 27x^2 \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( x^4 - 27x^2 - 324 = 0 \)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \), где \( t > 0 \).

\( t^2 - 27t - 324 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-27)^2 - 4(1)(-324) = 729 + 1296 = 2025 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45 \)

Найдем корни для \( t \):

\( t_1 = \frac{27 + 45}{2} = \frac{72}{2} = 36 \)

\( t_2 = \frac{27 - 45}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \)

Так как \( t = x^2 \) и \( t > 0 \), то \( t = 36 \).

Теперь найдём \( x \):

\( x^2 = 36 \) \(\implies\) \( x = \in 6 \).

Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \) из \( y = \frac{18}{x} \):

Если \( x = 6 \), то \( y = \frac{18}{6} = 3 \).

Если \( x = -6 \), то \( y = \frac{18}{-6} = -3 \).

Проверим решения:

Для \( (6, 3) \): \( 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 \) (верно), \( 6 \cdot 3 = 18 \) (верно).

Для \( (-6, -3) \): \( (-6)^2 - (-3)^2 = 36 - 9 = 27 \) (верно), \( (-6) \cdot (-3) = 18 \) (верно).

Ответ: \( (6, 3) \) и \( (-6, -3) \).