352. Есть прямоугольный треугольник ABC, один катет которого и прилежащий к нему острый угол равны m и β. Из вершины прямого угла C проведён перпендикуляр CD, равный n. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.

Обозначим катет, прилежащий к углу β, через AC=m. Тогда второй катет BC=m tan β.

Поскольку CD перпендикулярен плоскости треугольника ABC, проекция точки D на эту плоскость — точка C. Расстояние от D до прямой AB равно длине перпендикуляра из D к AB.

Пусть H — основание перпендикуляра из C на AB. В прямоугольном треугольнике ABC расстояние CH от C до гипотенузы AB равно \(CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}\). Здесь \(AB=\frac{m}{\cos\beta}\), поэтому \(CH=m\sin\beta\).

Так как CD ⟂ плоскости ABC, то \(CD\perp CH\). Следовательно, в прямоугольном треугольнике DCH:

\[DH=\sqrt{CD^2+CH^2}=\sqrt{n^2+m^2\sin^2\beta}.\]

Ответ: \(\sqrt{n^2+m^2\sin^2\beta}\).