354. Измерения ABCD A₁B₁C₁D₁, BC и CC₁ прямоугольного параллелепипеда равны a, b и c соответственно. Найдите угол между прямыми: а) AC и BB₁; б) A₁D и C₁A.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с координатами: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0), D(0,b,0), A₁(0,0,c), B₁(a,0,c), C₁(a,b,c).

а) Направляющие векторы: \(\overrightarrow{AC}=(a,b,0)\), \(\overrightarrow{BB_1}=(0,0,c)\). Их скалярное произведение равно нулю:

\[\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BB_1}=0.\]

Значит, \(AC\perp BB_1\), и угол равен \(90^\circ\).

б) Направляющие векторы можно взять такими: \(\overrightarrow{A_1D}=(0,b,-c)\), \(\overrightarrow{C_1A}=(-a,-b,-c)\). Тогда

\[\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{C_1A}=c^2-b^2,\]

\[|A_1D|=\sqrt{b^2+c^2},\qquad |C_1A|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\]

По формуле скалярного произведения для угла между прямыми:

\[\cos\varphi=\frac{|c^2-b^2|}{\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\]

Ответ: а) \(90^\circ\); б) \(\cos\varphi=\frac{|c^2-b^2|}{\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).