354. б) y=1+2 sin x, y=0, x=0, x=π/2

Пошаговое решение:

Площадь (S) равна определенному интегралу от \( y = 1+2 bin x \) в пределах от \( x=0 \) до \( x=\frac{\pi}{2} \).

\( S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+2 bin x) dx \)

Первообразная от \( 1+2 bin x \) есть \( x - 2 cos x \).

\( S = \left[ x - 2 cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)

Подставляем пределы интегрирования:

\( S = (\frac{\pi}{2} - 2 cos(\frac{\pi}{2})) - (0 - 2 cos(0)) \)

\( S = (\frac{\pi}{2} - 2 cos(90^\circ)) - (0 - 2 cos(0^\circ)) \)

\( S = (\frac{\pi}{2} - 2 cos(90^\circ)) - (0 - 2 cos(0^\circ)) \) (так как \( cos(90^\circ)=0 \) и \( cos(0^\circ)=1 \))

\( S = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 2 cos(0)) \)

\( S = \frac{\pi}{2} - (-2) \)

\( S = \frac{\pi}{2} + 2 \)

Ответ: π/2 + 2